​高振宁：2020年新高考山东卷数学第21题解法研究——同构放缩携起手导数不等式难题不再有

请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。

---

公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

---

公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。

本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。

2020年新高考山东卷数学

第21题解法研究

——同构放缩携起手导数不等式难题不再有

高振宁     山东省新泰市第一中学

利用导数解决函数的不等式问题是高考数压轴题的常见形式，由于此类问题一般涉及导数与单调性、极值、最值等知识点，思维量较大、计算量较大，且经常需要灵活的构造特定目标函数，技巧性很强，得分一般不理想.此类问题的本质一般是求解特定目标函数的最值，多数情况下利用同构放缩思想构造特殊函数解决问题，函数解析式中往往含有e^x或lnx，运算技巧比较大，为此笔者就2020年新高考全国Ⅰ卷（山东卷）数学第21题解法介绍一下自己的浅见，试图建立解决此类问题的通法，供大家参考.

  方法六（分而治之法）

从解决问题方法的角度看，隐零点法是解决问题的一般性通法，但是此种方法需要强大的计算能力作为基础，特别是在利用进行代换得到的这种思路，应该作为一种基本的解决导数不等式压轴题的基本思路进行培养。放缩法是山东省教育招生考试院给出的官方答案，此种办法的优点是，计算量不是大，借助分类讨论思想，利用特殊点明确参数的范围进而证明此范围符合题意，但是在实际的教学中，新教材已经把分析法和综合法等不等式证明方法删除，学生证明不等式能力较弱的情况下掌握放缩法不易，这就需要教师在教学中渗透不等式的证明方法，为了突破这个教学难点，笔者认为可以利用具体的证明方法，而不用过多的纠缠这种方法的具体含义和要求，比方说把“执果索因”给学生讲解成“把结论等价变形成能解决问题的形式”，在教学的实践中怎么充实这一点，还需要不断的在实际中摸索与探究。

方法三、四、五可以归结成同构法，同构法的本质是构造目标函数，借助目标函数单调性把复杂函数简单化，

    当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．但是笔者认为，利用同构法可以最接近命题者的原始创作方向，此题目设计思路的开始点应该是e^x≥ex/a.正所谓，同构新天地，放缩大舞台！

    方法六属于解决问题的巧妙方法，不属于通性解法，一般情况下f(x)≥g(x)不等价于f(x)_min≥g(x)_max，但是对于极个别的问题，利用上分而治之的方法，会极大的降低运算程度，但是构造不等式两侧的目标函数有一定的技巧性，学生不易掌握.

其实，解决导数的不等式问题的方法是多样的、灵活的，并且学生更易于接受那种方法也是有区别的，大多数问题甚至有可能会用到两种或更多的方法的结合，具体的那种解决问题方法更好，要根据具体的题目来确定.但本质上此类问题可以分为两大类方向：（1）借助导数求出目标函数的最值；（2）利用同构放缩，把问题转化成简单函数的不等式或已知成立的不等式.至于导数解决函数不等式问题，用那种解决问题的办法更好，值得我们进一步作深入的研究.

参考文献

[1] 陈永清.轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法[M].湖南：湖南师范大学出版社，2020：42-47.

邹生书数学

2021年第三季度

最受读者欢迎的46篇解题文章

公众号邹生书数学

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。